平方根・立方根・3分の２乗の説明

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　グラフはいずれも，x を横軸，y を縦軸にとってあります．また，負（マイナス）の数は面倒になるので考えないことにします．

２乗と平方根

y＝x2

y＝x1/2

　左のグラフは　y＝x²＝x×x　という関係を表わしています．たとえば
　x＝1　のとき　y＝1²＝1×1＝1
　x＝2　のとき　y＝2²＝2×2＝4
　x＝3　のとき　y＝3²＝3×3＝9
　x＝4　のとき　y＝4²＝4×4＝16
　・・・
　x＝10　のとき　y＝10²＝10×10＝100
となります．

　ここで　x　と　ｙ　を入れかれると右のグラフのようになります．たとえば
　x＝1＝1×1＝1²　のとき　y＝1
　x＝4＝2×2＝2²　のとき　y＝2
　x＝9＝3×3＝3²　のとき　y＝3
　x＝16＝4×4＝4²　のとき　y＝4
　・・・
　x＝100＝10×10＝10²　のとき　y＝10
となります．このように　x＝y×y＝y²　の関係があるとき　y　を　x　の平方根　と呼び，y＝と表わします．
（）²＝x　です．
　ところで，y＝ならば　y²＝y×y＝x　ですから

y⁸＝y×y×y×y×y×y×y×y＝（y×y）×（y×y）×（y×y）×（y×y）＝x×x×x×x＝x⁴
y⁴＝y×y×y×y＝（y×y）×（y×y）＝x×x＝x²
y²＝y×y＝x＝x¹

から左辺の指数（xの右上の小さい数字）が半分になれば，右辺の指数（yの右上の小さい数字）も半分になることがわかります．この考え方を拡張して，両辺の指数をさらに半分にすると
y¹＝x^1/2
となります．ここで　y¹＝y　，　y＝　なので
＝x^1/2
となることがわかります． つまり，xの（1/2）乗とxの平方根とは同じ意味なのです．また　1/2＝0.5　ですから
　x^1/2＝x^0.5
　と表わすことができます．

３乗と立方根

y＝x3

y＝x1/3

　左のグラフは　y＝x³＝x×x×x　という関係を表わしています．たとえば
　x＝1　のとき　y＝1³＝1×1×1＝1
　x＝2　のとき　y＝2³＝2×2×2＝8
　x＝3　のとき　y＝3³＝3×3×3＝27
　x＝4　のとき　y＝4³＝4×4×4＝64
　・・・
　x＝10　のとき　y＝10³＝10×10×10＝1000
となります．

　ここで　x　と　ｙ　を入れかれると右のグラフのようになります．たとえば
　x＝1＝1×1×1＝1³　のとき　y＝1
　x＝8＝2×2×2＝2³　のとき　y＝2
　x＝27＝3×3×3＝3³　のとき　y＝3
　x＝64＝4×4×4＝4³　のとき　y＝4
　・・・
　x＝1000＝10×10×10＝10³　のとき　y＝10
となります．このように　x＝y×y×y＝y³　の関係があるとき　y　を　x　の立方根（または３乗根）　と呼び，y＝と表わします．
（）³＝xです．
　ところで，y＝ならば　y³＝y×y×y＝x　ですから

y²⁷＝y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y×y
　　＝（y×y×y）×（y×y×y）×（y×y×y）×（y×y×y）×（y×y×y）×（y×y×y）×（y×y×y）×（y×y×y）×（y×y×y）
　　＝x×x×x×x×x×x×x×x×x＝x⁹

y⁹＝y×y×y×y×y×y×y×y×y＝（y×y×y）×（y×y×y）×（y×y×y）＝x×x×x＝x³
y³＝y×y×y＝x＝x¹

から左辺の指数（xの右上の小さい数字）が1/3になれば，右辺の指数（yの右上の小さい数字）も1/3になることがわかります．この考え方を拡張して，両辺の指数をさらに1/3にすると
y¹＝x^1/3
となります．ここでy¹＝y　，　y＝　なので
＝x^1/3
となることがわかります． つまり，xの（1/3）乗とxの立方根とは同じ意味なのです．

3分の2乗

　ところで
（x²）³＝（x×x）³＝（x×x）×（x×x）×（x×x）＝x×x×x×x×x×x＝x⁶＝x^2×3
（x^1/3）³＝（）³＝x＝x¹＝x^（1/3）×3
などから

(x^a）^b＝x^a×b

ということがわかります．これに立方根の2乗をあてはめると
（）²＝x^（1/3）×2＝x^2/3
となります．

y＝x2/3

したがって y＝x2/3　とすると x＝1　のとき　y＝12/3 =(11/3)2 =((13)1/3)2 =12=1 x＝8　のとき　y＝82/3 =(81/3)2 =((23)1/3)2 =22=4 x＝27　のとき　y＝272/3 =(271/3)2 =((33)1/3)2 =32=9 x＝64　のとき　y＝642/3 =(641/3)2 =((43)1/3)2 =42=16 x＝125　のとき　y＝1252/3 =(1251/3)2 =((53)1/3)2 =52=25 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ x＝1000　のとき　y＝10002/3 =(10001/3)2 =((103)1/3)2 =102=100 となります．この関係を表わしたのが左のグラフです．

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